Définitions

Matrice

Soit \(n,p\in\Bbb N^\star\), on appelle matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes toute application $$A:\left\vert\begin{align}[1,n]\cap\Bbb N\times[1,p]\cap\Bbb N&\longrightarrow\Bbb R\\ (i,j)&\longmapsto a\end{align}\right.$$
On la note \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant p}\) et on dit que \(a_{ij}\) est le terme d'indice \((i,j)\) de \(A\)
On la représente par un tableau rectangulaire : \(A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots&a_{2,p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots&a_{n,n}\end{pmatrix}\)

Format d'une matrice

Format d'une matrice : couple \((n;p)\) où \(n\) est le nombre de lignes de la matrice et \(n\) son nombre de colonnes

Notation

Pour alléger la notation, on écrira \(u=(a_{ij})_{\underset{1\leqslant j\leqslant n}{1\leqslant i\leqslant m} }\) la matrice dont l'entrée à la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne vaut \(a_{ij}\) L'ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes est noté \(\mathcal M_{n,p}(\Bbb R)\)

Propriétés

Espace vectoriel

>théorème :
>l'ensemble \(\operatorname{Mat}_{m\times n}(\Bbb R)\), muni d'une opération interne et d'une opération externe, est un \(\Bbb R\)-espace vectoriel
>de plus, le vecteur nul de cet espace vectoriel \(0_{M_{m,n}(\Bbb R)}\) est la matrice qui n'a que des zéros comme éléments et si \(M=(a_{ij})_{\underset{1\leqslant j\leqslant n}{1\leqslant i\leqslant m} }\), alors \(-M={{(-a_{ij})_{\underset{1\leqslant j\leqslant n}{1\leqslant i\leqslant m} } }}\)
(Espace vectoriel, Loi de composition interne - Opération interne - Loi, Opération externe, Vecteur nul, Elément opposé - Inverse additif)

Types de matrices

Matrice carrée
Matrice diagonale, Matrice tridiagonale
Matrice triangulaire, Matrice de Hessenberg, Matrice triangulaire
Matrice nilpotente
Matrice à diagonale dominante, Matrice à diagonale strictement dominante
Matrice stochastique - Matrice de Markov

Matrice ligne

Matrice ligne : matrice n'ayant qu'une seule ligne

Matrice colonne

Matrice colonne : matrice n'ayant qu'une seule colonne (//Vecteur)

Relations entre matrices

Egalité

Deux matrices sont dites égales si elles ont le même format et les mêmes coefficients aux mêmes positions
Matrices commutatives
Matrice d'une application linéaire
Matrices équivalentes
Matrices conjuguées - Matrices semblables
Matrice symétrique

Opération sur les matrices

Produit matriciel
Puissance d'une matrice carrée
Déterminant
Matrice transposée
Norme matricielle
Matrice conjuguée
Exponentielle d'une matrice

Addition

Pour additionner deux matrices, on additionne les coefficients qui se trouvent aux mêmes positions entre eux L'addition de matrice vérifie les propriétés de commutativité, associativité et distributivité (Commutativité - Symétrie, Associativité, Distributivité)

Produit d'un scalaire et d'une matrice

Soit \(A\) une matrice et \(k\) un réel
Le produit de \(A\) par \(k\), noté \(kA\), est la matrice de mêmematrice que \(A\), dont les matrice sont obtenus en multipliant tous les matrice de \(A\) par \(k\) Associativité : \(k(k'A)=(kk')A\)

Différence entre deux matrices

Soient \(A\) et \(B\) des matrices de même format
La différence de deux matrices est définie par : $$A-B=A+(-1)\times B$$

Matrices particulières

Matrice nulle
Matrice identité - Matrice unité
Matrice élémentaire
Matrice de Van der Monde
Matrice de rotation
Jacobienne
Forme normale de Jordan - Réduction de Jordan (Bloc de Jordan)

Réduction de matrices

Matrice diagonalisable
Trigonalisation - Matrice trigonalisable
Forme normale de Jordan - Réduction de Jordan